Forme algébrique à partir de la forme trigonométrique - Corrigé

Énoncé

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants, donnés sous forme trigonométrique.

1. \(z_1=-2\left( \cos\dfrac{-\pi}{3}+i\sin\dfrac{-\pi}{3}\right)\)

2. \(z_2= 3 (\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2} )\)

3. \(z_3=5\left( \cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)\)

4. \(z_4=-3\left( \cos\dfrac{-5\pi}{6}+i\sin\dfrac{-5\pi}{6}\right)\)

Solution
1. On a : \(\begin{align*}z_1&=-2\left(\cos\frac{-\pi}{3}+i\sin\frac{-\pi}{3}\right)=-2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}.\end{align*}\)
\(\) 2. On a : \(\begin{align*}z_2&=3(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})=3(0+i) \times 1=3i.\end{align*}\)
3. On a : \(\begin{align*}z_3&=5\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)=5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}i.\end{align*}\)
4. On a : \(\begin{align*}z_4&=-3\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)=-3\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i.\end{align*}\)